题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 步你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 步 + 1 步
2.  2 步

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 步 + 1 步 + 1 步
2.  1 步 + 2 步
3.  2 步 + 1 步

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

Example 1:

Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step
2. 2 steps

Example 2:

Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step

解题方法

总台阶数为n，记爬到楼顶的方法数为f(n)。逆向思维，从后往前看，当最后一次爬了一个台阶，则前n-1个台阶有f(n-1)种方法爬完；当最后一次爬了两个台阶，则前n-2个台阶有f(n-2)种方法爬完。则有f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=f(2)=1，那么这道题便是一道标准的Fibonacci问题。可以有递归和迭代两种方法。

递归

直接上代码，这段代码时间复杂度为O(1.68^n)，空间复杂度为O(n)，效率低且耗内存，但其代码十分简洁。因为它的效率非常低，就不在leetcode上跑了，肯定会超时。

public class Solution {
    // Method_01
    public int climbStairs(int n) {
        return fibonacci(n);
    }

    public static int fibonacci(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        } else if ( n == 2) {
            return 2;
        } else {
            return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
        }
    }
}

迭代

递归与迭代实际上都是一种分治策略，将复杂的问题分解为简单的问题，区别在于迭代利用了动态规划，将已经计算过的简单的问题的结果进行了保存，减少了不必要的重复计算。这段代码时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)，跑了3ms，超过了77.94%的java提交。

class Solution {
    // Method_02
    public int climbStairs(int n) {
        int f0 = 1;
        int f1 = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int f = f1;
            f1 += f0;
            f0 = f;
        }
        return f1;
    }
}